Entra a un módulo
El módulo oficial, digerido y verificado
Módulo Estadística Probabilística — Transversal, Corporación Universitaria Remington, 4.ª versión 2016. Autor: Pablo Emilio Botero Tobón. Todo el contenido de las tres unidades, reorganizado, con las fórmulas recompuestas y cada resultado numérico recalculado. Las discrepancias que encontré están marcadas con errata y detalladas en el Módulo de auditoría.
Objetivos específicos Analizar experimentos aleatorios de una o más variables. Determinar, a través del análisis combinatorio, el conteo del número de maneras en que pueden ordenarse o seleccionarse elementos de un conjunto: la permutación, la variación y la combinación.
Unidad 1 · Probabilidad
1.1 Conceptos básicos (definiciones del módulo)
| Concepto | Definición del módulo | Precisión / cómo decirlo bien |
|---|---|---|
| Probabilidad | Método por el cual se obtiene la frecuencia de un acontecimiento determinado mediante la realización de un experimento aleatorio, del que se conocen todos los resultados posibles, bajo condiciones suficientemente estables. | Función P que asigna a cada evento un número en [0,1] cumpliendo los tres axiomas de Kolmogórov. |
| Evento simple | Subconjunto del espacio muestral que contiene un único elemento. | También llamado punto muestral o suceso elemental: {ω} ⊂ Ω. |
| Evento compuesto | Evento que incluye dos o más eventos independientes. | Impreciso Un evento compuesto es todo subconjunto con dos o más puntos muestrales. No requiere independencia. |
| Regla de adición | La probabilidad de ocurrencia de cualquier evento es igual a la suma de las probabilidades individuales, si los eventos son mutuamente excluyentes. | Correcto: P(A∪B)=P(A)+P(B) solo si A∩B=∅. En general se resta la intersección. |
| Regla de multiplicación | La probabilidad de ocurrencia de dos o más eventos estadísticamente independientes es igual al producto de sus probabilidades individuales. | Correcto para independientes. Para dependientes: P(A∩B)=P(A)·P(B|A). |
| Permutación | Variación del orden o de la disposición de los elementos de un conjunto. | Arreglo ordenado. Pn = n! si se usan todos los elementos. |
| Combinación | Técnica de conteo que permite calcular el número de arreglos con todos o parte de los elementos de un conjunto, en donde no interesa el orden. | Selección no ordenada. C(n,r) = n! / [r!(n−r)!]. |
1.2 Experimentos: determinísticos vs. aleatorios
Un experimento aleatorio exige dos hechos fundamentales según el módulo:
- Debe existir un espacio muestral con los diferentes resultados que pueden suceder.
- Los resultados de repeticiones no tienen un comportamiento igual o predecible.
| Fenómeno | Ejemplos del módulo |
|---|---|
| Determinísticos | Los movimientos de los planetas, las leyes, normas, decretos, entre otros. |
| Aleatorios | Los juegos de azar. |
1.3 Espacio muestral
Moneda
Ω = {cara, sello} = {c, s}|Ω| = 2
Dado
Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}|Ω| = 6
Ejercicio del módulo · tres bolas de una bolsa (blancas y negras)
Ω = {(b,b,b), (b,b,n), (b,n,b), (n,b,b), (b,n,n), (n,b,n), (n,n,b), (n,n,n)}|Ω| = 23 = 8 resultados
| Suceso | Descripción | Elementos | Probabilidad |
|---|---|---|---|
| A | Extraer tres bolas del mismo color | {(b,b,b), (n,n,n)} | 2/8 = 0,25 |
| B | Extraer al menos una bola blanca | todos menos (n,n,n) → 7 elementos | 7/8 = 0,875 |
| C | Extraer una sola bola negra | {(b,b,n), (b,n,b), (n,b,b)} | 3/8 = 0,375 |
1.4 Clasificación de los sucesos
| Suceso | Concepto | Ejemplo |
|---|---|---|
| Elemental | Cada uno de los elementos que forman parte del espacio muestral. | Lanzando una moneda al aire, puede caer cara. |
| Compuesto | Cualquier subconjunto del espacio muestral. | Lanzando una moneda, puede caer cara o sello (uno de los dos, no los dos al tiempo). |
| Seguro | Es el espacio muestral completo. P(Ω)=1 | Al tirar un dado, obtener una puntuación menor o igual a seis. |
| Imposible | No tiene ningún elemento. Se representa por φ (o ∅). P(∅)=0 | Lanzar un dado y obtener 7 como resultado. |
| Compatibles | Dos sucesos A y B tienen algún elemento en común. | A: par al tirar un dado; B: múltiplo de 3. Comparten el 6. |
| Incompatibles | No tienen ningún elemento en común. A∩B=∅ | A: par al tirar un dado; B: múltiplo de 5 (solo el 5). ojo |
| Independientes | La probabilidad de lo que suceda con A no se ve afectada por lo que haya sucedido con B. | Lanzar dos monedas al aire. |
| Dependientes | La probabilidad de que suceda A se ve afectada por que haya sucedido o no B. | Extraer dos cartas de una baraja sin reposición. |
| Contrario | Se realiza cuando no se da A. Se representa Ā o A′. | Al lanzar un dado, «par» e «impar». |
1.5 Eventos compuestos: unión, intersección, complemento
Unión ∪
Ocurre A o B, o ambos, en una sola realización del experimento.
Intersección ∩
Ocurre si A y B tienen elementos en común (ocurren simultáneamente).
Complementarios
Dos eventos son complementarios cuando su unión es igual al espacio muestral.
1.6 Reglas de probabilidad errata en el módulo
El módulo (pág. 16) escribe literalmente:
«Si son mutuamente excluyentes, entonces: P(A o B) = P(A) + P(B) − P(A y B)»
Está al revés, y además P(A) ∪ P(B) es una notación imposible (la unión opera sobre conjuntos, no sobre números). La forma correcta:
Caso general (siempre válido)
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)Se resta la intersección porque, al sumar, los elementos comunes se contaron dos veces. Es el principio de inclusión–exclusión.
Caso especial: mutuamente excluyentes
A ∩ B = ∅ ⇒ P(A ∪ B) = P(A) + P(B)Solo aquí desaparece el término restado, porque P(∅) = 0.
1.7 Regla de la multiplicación y probabilidad condicional
Eventos independientes
P(A ∩ B) = P(A) · P(B)Se generaliza a cualquier número de eventos independientes: la probabilidad de que todos sucedan es el producto de las probabilidades individuales.
Eventos dependientes
P(A ∩ B) = P(A) · P(B|A) = P(B) · P(A|B)Es la regla de la cadena. De ella se despeja la probabilidad condicional.
Ejercicio de aprendizaje del módulo · los calcetines de Beth
Beth tiene 10 pares de calcetines: 2 negros, 2 cafés, 3 blancos, 1 rojo, 1 azul y 1 verde. Quiere el par blanco; agarra un par al azar y, si no es blanco, lo devuelve al cajón. ¿Cuál es la probabilidad de sacar un par blanco en el tercer intento?
Definir los eventos
A: primer par no blanco. B: segundo par no blanco. C: tercer par blanco.
Verificar independencia
Como devuelve el par al cajón, cada extracción parte del mismo cajón de 10 pares: los eventos son independientes y las probabilidades no cambian.
Contar
|Ω| = 10 pares. No blancos: 7. Blancos: 3.
P(A)=P(B)=710, P(C)=310Multiplicar
P(A∩B∩C) = 710·710·310 = 1471000 = 0,147 = 14,7 %Unidad 1 · Tema 2 · Técnicas de conteo (análisis combinatorio)
El análisis combinatorio permite contar cuántas maneras hay de ordenar o seleccionar los elementos de un conjunto sin enumerarlas una por una. El módulo lo aplica a placas, loterías, teléfonos y horarios.
2.1 Regla multiplicativa (principio fundamental del conteo)
| # | Situación | Factores | Resultado |
|---|---|---|---|
| 1 | Lanzar dos monedas | 2 × 2 | 4 |
| 2 | Matrícula: 2 horarios de Admón., 4 de Hoja Electrónica, 3 de Cálculo | 2 × 4 × 3 | 24 |
| 3 | 4 evaluaciones con 4, 7, 2 y 2 temas | 4 × 7 × 2 × 2 | 112 |
| 4 | Rutas A→B (4), B→C (2), C→D (5) | 4 × 2 × 5 | 40 |
| 5 | Moneda 2 veces y un dado | 2 × 2 × 6 | 24 |
| 6 | Examen: 3 preguntas de opción múltiple con 4 opciones | 4 × 4 × 4 | 64 |
2.2 Factorial
| n | n! | Notas |
|---|---|---|
| 0 | 1 | Convenio; hace válidas las fórmulas de C y P. |
| 4 | 24 | 1×2×3×4 |
| 5 | 120 | — |
| 6 | 720 | — |
| 8 | 40 320 | — |
| 9 | 362 880 | — |
| 13 | 6 227 020 800 | — |
| 15 | 1 307 674 368 000 | Coincide con el módulo ✓ |
| 20 | 2 432 902 008 176 640 000 | Coincide con el módulo ✓ |
| 30 | 2,652528598 × 1032 | 265 252 859 812 191 058 636 308 480 000 000 |
| 40 | 8,159152832 × 1047 | Ya excede la precisión de una calculadora común. |
También 8!(8−4)! = 8·7·6·5 = 1680 ✓, 6!3!(6−3)! = 20 ✓, 10!4!(10−4)! = 210 ✓.
2.3 El mapa completo del conteo
| Herramienta | ¿Importa el orden? | ¿Se repiten? | ¿Entran todos? | Fórmula |
|---|---|---|---|---|
| Regla multiplicativa | Sí | Según el caso | — | n1·n2·…·nk |
| Permutación | Sí | No | Sí | Pn = n! |
| Permutación por subgrupos / variación sin repetición | Sí | No | No | Pnr = n!(n−r)! |
| Variación con repetición | Sí | Sí | No | VRnm = mn |
| Combinación sin repetición | No | No | No | Cnm = m!n!(m−n)! |
| Combinación con repetición | No | Sí | No | CRnm = (m+n−1)!n!(m−1)! |
| Permutación con repetición (elementos idénticos) | Sí | Sí (fijas) | Sí | P = n!n1! n2! … nk! |
| Enunciado | Herramienta | Desarrollo | Resultado | ✓ |
|---|---|---|---|---|
| 7 CD en un porta-CD | Permutación | 7! | 5 040 | ✓ |
| Ordenar {x,y,z,w} | Permutación | 4! | 24 | ✓ |
| 6 personas en una banca | Permutación | 6! | 720 | ✓ |
| 7 CD en un porta-CD de 4 puestos | Variación | 7!/3! = 7·6·5·4 | 840 | ✓ |
| {x,y,z,w} de a 2 letras | Variación | 4!/2! = 4·3 | 12 | ✓ |
| Palabras de 3 letras con ABCDE | Variación | 5!/2! = 5·4·3 | 60 | ✓ |
| Números de 3 cifras distintas con {1..6} | Variación | 6!/3! = 6·5·4 | 120 | ✓ |
| Podio de 8 atletas | Variación | 8!/5! = 8·7·6 | 336 | ✓ |
| Números de 8 cifras que empiecen por 6 | Var. con repetición | 107 | 10 000 000 | ✓ |
| Quiniela de 15 casillas con 3 signos | Var. con repetición | 315 | 14 348 907 | ✓ |
| Palabras de 10 letras con {a,b} | Var. con repetición | 210 | 1 024 | ✓ |
| 4 botellas de 5 tipos (se repiten) | Comb. con repetición | 8!/(4!·4!) | 70 | ✓ |
| 3 pasteles de 6 tipos | Comb. con repetición | 8!/(3!·5!) | 56 | ✓ |
| 10 elementos tomados de 4 en 4 | Combinación | 10!/(4!·6!) | 210 | ✓ |
| Comité de 3 en una clase de 35 | Combinación | (35·34·33)/(3·2·1) | 6 545 | ✓ |
| 10 naranjas de una caja de 20 | Combinación | 20!/(10!·10!) | 184 756 | ✓ |
| Reina, virreina y princesa de 5 finalistas | Variación | 5!/2! = 5·4·3 | 60 | ✓ |
| 7 monedas distintas en fila | Permutación | 7! | 5 040 | ✓ |
| «Santafedeantioquia» (18 letras) | Perm. con repetición | 18!/(4!·2!4) | 16 672 848 192 000 | ✓ |
2.4 Tipos de probabilidad
1 · Clásica (de Laplace)
casos favorables a Acasos posiblesEl módulo la escribe como P(A) = Muestra / Población. Exige que todos los resultados sean equiprobables.
2 · Conjunta (independencia)
P(A ∩ B) = P(A) · P(B)Solo si los eventos son independientes.
3 · Condicional (dependencia)
P(A|B) = P(A∩B)P(B)El módulo añade el caso independiente, donde se simplifica a P(A).
2.5 Diagrama de árbol
Ejercicio del módulo · la universidad de tres facultades
Facultad 1: 50 % de los estudiantes. Facultad 2: 25 %. Facultad 3: 25 %. Las mujeres están repartidas uniformemente: 60 % en cada facultad.
Alumno varón (cualquier facultad): 0,50·0,40 + 0,25·0,40 + 0,25·0,40 = 0,20+0,10+0,10 = 0,40 (40 %) — ramas separadas, se suman.
Ambos resultados del módulo son correctos. Comprobación de cierre: 0,30+0,15+0,15 = 0,60 mujeres, y 0,40 hombres. Total 1,00 ✓
2.6 Teorema de Bayes
Previas · P(Ai)
Lo que sabías antes de la nueva información. Suman 1.
Verosimilitudes · P(B|Ai)
Qué tan probable es la evidencia bajo cada causa. No suman 1.
Posteriores · P(Ai|B)
Lo que sabes después de observar B. Suman 1.
Ejercicio del módulo · los dos proveedores errata en la tabla
El 65 % de las partes viene del proveedor 1 y el 35 % del proveedor 2. Defectuosas: 2 % del proveedor 1 y 5 % del proveedor 2. Se toma una parte al azar y resulta mala. ¿De qué proveedor viene?
| Eventos Ai | Previas P(Ai) | Condicionales P(M|Ai) | Conjuntas P(Ai∩M) | Posteriores P(Ai|M) |
|---|---|---|---|---|
| A₁ (proveedor 1) | 0,65 | 0,02 | 0,65×0,02 = 0,0130 | 0,0130 / 0,0305 = 0,4262 (42,62 %) |
| A₂ (proveedor 2) | 0,35 | 0,05 | 0,35×0,05 = 0,0175 | 0,0175 / 0,0305 = 0,5738 (57,38 %) |
| Suma | 1,00 | — | P(M) = 0,0305 | 1,000 |
(a) Redondeo que arrastra error. El módulo escribe 0,35 × 0,05 = 0,018; el valor exacto es 0,0175. Con él, P(M) = 0,013 + 0,0175 = 0,0305 (el módulo usa 0,031) y las posteriores exactas son 0,4262 y 0,5738, no 0,419 y 0,581.
(b) La tabla tiene las posteriores intercambiadas. En el texto (pág. 41) el módulo obtiene correctamente P(A₁|M) = 0,419 y P(A₂|M) = 0,581, pero en la tabla de la pág. 42 aparece 0,581 en la fila de A₁ y 0,419 en la de A₂. Están cambiadas.
Lo correcto, sin redondeos: P(A₁|M) = 0,013/0,0305 = 0,4262 → 42,6 % y P(A₂|M) = 0,0175/0,0305 = 0,5738 → 57,4 %. Aunque el proveedor 1 aporta más piezas, la mayoría de las piezas malas viene del proveedor 2: eso es lo que Bayes revela.
Ejercicio del módulo · tres causas
Previas: P(A₁)=0,2, P(A₂)=0,5, P(A₃)=0,3. Condicionales: P(B|A₁)=0,5, P(B|A₂)=0,4, P(B|A₃)=0,3.
| Ai | P(Ai) | P(B|Ai) | P(Ai∩B) | P(Ai|B) |
|---|---|---|---|---|
| A₁ | 0,2 | 0,5 | 0,10 | 0,10/0,39 = 0,256 |
| A₂ | 0,5 | 0,4 | 0,20 | 0,20/0,39 = 0,513 |
| A₃ | 0,3 | 0,3 | 0,09 | 0,09/0,39 = 0,231 |
| Σ | 1,00 | — | P(B) = 0,39 | 1,000 |
Ejercicio de entrenamiento resuelto · tres máquinas
Tres máquinas producen el 40 %, 33 % y 27 % de las piezas. Sus tasas de defecto: 4 %, 3 % y 2 %.
P(D) = 0,40·0,04 + 0,33·0,03 + 0,27·0,02 = 0,0160 + 0,0099 + 0,0054 = 0,0313| Máquina | Previa | Tasa defecto | Conjunta | Posterior P(·|D) |
|---|---|---|---|---|
| A | 0,40 | 0,04 | 0,0160 | 0,511 → 51,1 % |
| B | 0,33 | 0,03 | 0,0099 | 0,316 → 31,6 % |
| C | 0,27 | 0,02 | 0,0054 | 0,173 → 17,3 % |
| Σ | 1,00 | — | 0,0313 | 1,000 |
Respuestas: la probabilidad de que una pieza cualquiera sea defectuosa es 3,13 %; si es defectuosa, la probabilidad de que venga de A es 51,1 %; la máquina que más piezas defectuosas aporta es la A.
Unidad 2 · Distribuciones de probabilidad
Objetivo: distinguir las distribuciones de las diferentes probabilidades; conocer las de variable discreta y las de variable continua, y diferenciar cada modelo.
3.1 Variable aleatoria
| Experimento | Variable aleatoria X | Valores posibles | Tipo |
|---|---|---|---|
| Funcionamiento de un banco | Tiempo en minutos entre llegadas de clientes | x ≥ 0 | Continua |
| Llamar a 5 clientes | Cantidad de clientes que hacen el pedido | x = 0,1,2,3,4,5 | Discreta |
| Proyecto de biblioteca | Porcentaje terminado en seis meses | 0 ≤ x ≤ 100 | Continua |
| Clientela de un restaurante | Cantidad de clientes | x = 0,1,2,3,… | Discreta |
| Inspeccionar 50 tubos | Cantidad de tubos defectuosos | x = 0,1,…,50 | Discreta |
3.2 Distribución de probabilidad discreta, esperanza y varianza
Valor esperado (media)
μ = E[X] = ∑ xi · f(xi)«La cantidad media que se espera como resultado si el experimento se repite muchas veces». Puede ser un valor imposible de observar.
Varianza y desviación
σ2 = ∑ (xi − μ)2 · f(xi) σ = σ2Condiciones siempre exigibles: f(x) ≥ 0 y ∑ f(x) = 1.
Ejercicio · el dado lanzado 240 veces
| Cara xi | Frecuencia absoluta fi | Frecuencia relativa hi | Probabilidad teórica pi | Diferencia |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 40 | 40/240 = 0,1667 | 1/6 = 0,1667 | 0,0000 |
| 2 | 39 | 39/240 = 0,1625 | 0,1667 | −0,0042 |
| 3 | 42 | 42/240 = 0,1750 | 0,1667 | +0,0083 |
| 4 | 38 | 38/240 = 0,1583 | 0,1667 | −0,0084 |
| 5 | 42 | 42/240 = 0,1750 | 0,1667 | +0,0083 |
| 6 | 39 | 39/240 = 0,1625 | 0,1667 | −0,0042 |
| Σ | 240 | 1,0000 | 1,0000 | 0,0000 |
3,5 no es un resultado posible al rodar el dado. Cuando todos los sucesos son equiprobables, la esperanza coincide con la media aritmética.
Dos monedas: número de caras
| x | Resultados | f(x) | x·f(x) | (x−μ)2f(x) |
|---|---|---|---|---|
| 0 | (s,s) | 1/4 = 0,25 | 0 | 0,25 |
| 1 | (c,s),(s,c) | 2/4 = 0,50 | 0,50 | 0 |
| 2 | (c,c) | 1/4 = 0,25 | 0,50 | 0,25 |
| Σ | — | 1,00 | μ = 1,00 | σ2 = 0,50 |
σ = 0,50 = 0,707 ✓ coincide con el módulo.
Salas de operación en 20 días
| x | Días | f(x) | x·f(x) | (x−μ)2f(x) |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 3 | 0,15 | 0,15 | 0,408 |
| 2 | 5 | 0,25 | 0,50 | 0,106 |
| 3 | 8 | 0,40 | 1,20 | 0,049 |
| 4 | 4 | 0,20 | 0,80 | 0,365 |
| Σ | 20 | 1,00 | μ = 2,65 | σ2 = 0,928 |
σ = 0,928 = 0,963 ✓. Se esperan 2,65 salas en uso, con una dispersión de casi una sala.
3.3 Modelos discretos
| Modelo | Función de probabilidad | Media / Varianza | Cuándo se usa |
|---|---|---|---|
| Bernoulli Be(p) | f(x) = px(1−p)1−x, x ∈ {0,1} | μ = p σ2 = pq |
Un solo ensayo con dos resultados: éxito / fracaso. q = 1 − p. |
| Binomial B(n,p) | f(r) = C(n,r) · pr · (1−p)n−r | μ = np σ2 = npq |
n ensayos independientes, p constante, dos resultados. |
| Poisson Po(λ) | f(k) = e−λ λkk! | μ = σ2 = λ | Conteo de eventos raros en un intervalo fijo de tiempo, espacio o volumen. |
Bernoulli · sacar un 2 en el dado
p = 1/6, q = 1 − 1/6 = 5/6
P(x=1) = (1/6)1(5/6)0 = 0,1667 P(x=0) = (1/6)0(5/6)1 = 0,8333Binomial · tres clientes, dos compran
n=3, p=0,30, r=2
f(2) = C(3,2)·(0,3)2·(0,7)1 = 3 · 0,09 · 0,7 = 0,18918,9 % ✓
Binomial · al menos 2 caras en 8 lanzamientos
Estrategia clave: «al menos» se resuelve por complemento.
P(X ≥ 2) = 1 − P(X < 2) = 1 − [P(X=0) + P(X=1)] P(X=0) = C(8,0)(½)0(½)8 = 1256 P(X=1) = C(8,1)(½)1(½)7 = 8256 P(X ≥ 2) = 1 − 9256 = 247256 = 0,9648✓ coincide exactamente con el módulo.
Poisson · encuadernaciones defectuosas
2 % de 400 libros están mal encuadernados. ¿Probabilidad de que exactamente 5 lo estén?
λ = 0,02 × 400 = 8 P(5; 8) = 85 e−85! = 32768 × 0,00033546120 = 0,0916El módulo reporta 0,092 ✓. También podría resolverse con una binomial B(400, 0,02), que da 0,0916 — la Poisson es el límite de la binomial cuando n es grande y p pequeño.
3.4 Modelos continuos
| Modelo | Densidad / relación clave | Media / Varianza | Uso |
|---|---|---|---|
| Uniforme U(a,b) | f(x) = 1/(b−a) en [a,b] | μ = (a+b)/2 σ = (b−a)2/12 |
Todos los valores del intervalo son igual de probables. |
| Normal N(μ,σ) | f(x) = 12πσ2 e−(x−μ)2/2σ2 Tipificación: Z = (X − μ)/σ |
μ y σ2 | La distribución continua que más aparece en fenómenos reales. |
| Exponencial Exp(λ) | f(x) = λe−λx, x ≥ 0 Acumulada: F(x) = 1 − e−λx |
μ = 1/λ σ2 = 1/λ2 |
Tiempo entre dos sucesos de Poisson consecutivos. |
La curva normal y la regla empírica
Ejemplo del módulo con CI: μ = 100, σ = 15.
| Intervalo | Cálculo | Rango | Área aproximada |
|---|---|---|---|
| μ ± σ | 100 ± 15 | [85, 115] | 68,27 % |
| μ ± 2σ | 100 ± 30 | [70, 130] | 95,45 % |
| μ ± 3σ | 100 ± 45 | [55, 145] | 99,73 % |
Nota: el módulo escribe «μ + 2σ = 100 − 2(15)» en la fila inferior; es un signo mal transcrito, debe ser μ − 2σ. Los rangos que da sí son los correctos.
Unidad 3 · Introducción a la inferencia estadística
Distribución muestral de la media
μx̄ = μ σx̄ = σnσx̄ se llama error estándar: la desviación estándar de la distribución muestral de un estadístico. Cuadruplicar la muestra reduce el error a la mitad.
Teorema del límite central
Si Sn es la suma de n variables aleatorias independientes de varianza finita y no nula, la distribución de Sn se aproxima a una normal cuando n es suficientemente grande — sin importar la forma de la población original.
Z = x̄ − μσ / nRegla práctica habitual: n ≥ 30.
Intervalo de confianza para la media
x̄ − zα/2 sn < μ < x̄ + zα/2 snIntervalo de confianza para proporciones
p̂ ± zα/2 p̂q̂nEl módulo escribe la raíz solo sobre pq dividido por n; la forma correcta lleva n dentro de la raíz.
| Nivel de confianza | α | zα/2 |
|---|---|---|
| 90 % | 0,10 | 1,645 |
| 95 % | 0,05 | 1,960 |
| 99 % | 0,01 | 2,576 |
Taller N.º 1 · resuelto y explicado paso a paso
Tablas de contingencia y teoría de conjuntos — Corporación Universitaria Remington. Valor: 100 puntos. Cada respuesta trae el razonamiento, la fórmula, el reemplazo, el resultado en decimal y en porcentaje, y la interpretación en palabras, lista para exponer en el tablero.
Contenido protegido
El taller resuelto está cifrado dentro de este archivo. Escribe la clave para abrirlo.
Cifrado ChaCha20 con clave derivada por PBKDF2-HMAC-SHA256 (80.000 iteraciones) y autenticado con HMAC-SHA256. Sin la clave, el texto no existe en el archivo: no aparece al abrirlo con el Bloc de notas ni con las herramientas del navegador.
Teoría completa de los temas del Taller 1
Los cuatro temas que el docente escribió en el tablero, desarrollados de cero: conjuntos, operaciones entre conjuntos, tablas de contingencia (contingencial, relativa y marginal) y principios básicos de probabilidad (propiedades, espacio muestral y eventos). Con ejemplos nuevos, tablas, diagramas y ejercicios resueltos.
Contraste: lo que pidió el tablero vs. lo que trae el PDF del taller
Comparé literal por literal el temario del tablero con el contenido del archivo
taller_1_est_prob_11082026_unireming.pdf. Este es el resultado.
| Tema del tablero | Estado | Dónde aparece en el PDF | Qué falta y dónde lo cubro |
|---|---|---|---|
| 1. Conjuntos | Cubierto | Parte III (U, A, B, C) | El PDF no define conceptos (pertenencia, cardinal, tipos). → § 3.1 |
| 2. Operaciones entre conjuntos | Cubierto | Parte III, literales a) a l) | Falta la diferencia A − B y la diferencia simétrica. → § 3.2 |
| 3a. Tabla contingencial | Cubierto | Parte I, tabla de 500 empleados | — |
| 3b. Tabla relativa | Ausente | No se pide en ningún punto | El PDF solo trabaja frecuencias absolutas. → § 3.3 y tabla 2 del Módulo 2 |
| 3c. Tabla marginal | Parcial | Punto 1.c pide P(M), P(H), P(A), P(P), P(C) | Pide los valores pero nunca los nombra «marginales» ni arma la tabla. → § 3.3 |
| 4a. Propiedades de la probabilidad | Ausente | Se usan implícitamente, no se piden | Los axiomas y las 7 propiedades derivadas. → § 3.5 |
| 4b. Espacio muestral | Ausente | Nunca se menciona la palabra | Definición, tipos, cómo construirlo. → § 3.4 |
| 4c. Eventos | Parcial | Solo «mutuamente excluyentes» e «independientes» | Faltan los 9 tipos de suceso. → § 3.6 |
| — Probabilidad condicional | Extra | Punto 3 del PDF | El PDF añade un tema que el tablero no listó para el Taller 1. |
3.1 · Conjuntos
Tres formas de escribir un conjunto
| Forma | Ejemplo |
|---|---|
| Por extensión (lista) | A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} |
| Por comprensión (regla) | A = {x ∈ ℕ | 1 ≤ x ≤ 6} |
| Gráfica (Venn) | Un óvalo rotulado A dentro del rectángulo U |
Símbolos que hay que dominar
| a ∈ A | «a pertenece a A» (elemento–conjunto) |
| a ∉ A | «a no pertenece a A» |
| A ⊆ B | «A es subconjunto de B» (conjunto–conjunto) |
| A ⊂ B | Subconjunto propio: A ⊆ B y A ≠ B |
| |A| o n(A) | Cardinal: cuántos elementos tiene |
| ∅ o φ | Conjunto vacío: |∅| = 0 |
| U o Ω | Conjunto universal / espacio muestral |
Tipos de conjuntos
| Tipo | Descripción | Ejemplo |
|---|---|---|
| Finito | Se pueden contar todos sus elementos. | A = {1,...,6}, |A| = 6 |
| Infinito | El conteo no termina. | ℕ = {1,2,3,...} |
| Vacío | No tiene elementos. Es subconjunto de todo conjunto. | {x ∈ ℕ | x < 0} = ∅ |
| Unitario | Exactamente un elemento. | {5} |
| Universal | Contiene todos los elementos bajo consideración. | U = {1,...,12} |
| Disjuntos | No comparten ningún elemento: A ∩ B = ∅. | B = pares, C = impares |
| Iguales | Tienen exactamente los mismos elementos. | B′ = C |
| Partición | Familia de conjuntos disjuntos cuya unión es U. | {B, C} particiona U |
Con A = {a, b}: ℘(A) = { ∅, {a}, {b}, {a,b} }, cuatro elementos = 22.
Con el conjunto A = {1,2,3,4,5,6} del taller: 26 = 64 subconjuntos. Esto conecta directamente con el conteo del Taller 2: 2n = ∑r C(n,r).
3.2 · Operaciones entre conjuntos
Unión A ∪ B
A ∪ B = {x | x ∈ A o x ∈ B}
El «o» es inclusivo: los que están en ambos también entran.
Intersección A ∩ B
A ∩ B = {x | x ∈ A y x ∈ B}
Si A ∩ B = ∅, los conjuntos son disjuntos.
Complemento A′ o Ā
A′ = {x ∈ U | x ∉ A}
|A′| = |U| − |A| y P(A′) = 1 − P(A).
Diferencia A − B no está en el PDF
A − B = A ∩ B′ = {x | x ∈ A y x ∉ B}
No es conmutativa: A−B ≠ B−A. Es la operación que resuelve «solo fútbol» en la Parte II del taller.
Diferencia simétrica A △ B — «exactamente uno de los dos»
Con los datos de la Parte II: F △ B = 100 + 60 = 160 estudiantes practican exactamente un deporte → 160/300 = 0,5333 = 53,33 %.
Es el «o exclusivo» (XOR) de la lógica digital.
Las leyes del álgebra de conjuntos
| Ley | Enunciado | Comprobación |
|---|---|---|
| Conmutativa | A∪B = B∪A · A∩B = B∩A | El orden no altera el resultado. |
| Asociativa | (A∪B)∪C = A∪(B∪C) | Ambas dan U. |
| Distributiva | A∩(B∪C) = (A∩B)∪(A∩C) | Izq: A∩U = A. Der: {2,4,6}∪{1,3,5} = A ✓ |
| Idempotencia | A∪A = A · A∩A = A | — |
| Identidad | A∪∅ = A · A∩U = A | — |
| Dominación | A∪U = U · A∩∅ = ∅ | — |
| Complemento | A∪A′ = U · A∩A′ = ∅ | B∪C = U y B∩C = ∅ ✓ |
| Doble complemento | (A′)′ = A | (B′)′ = C′ = B ✓ |
| De Morgan I | (A∪B)′ = A′ ∩ B′ | Ambas dan {7, 9, 11} ✓ |
| De Morgan II | (A∩B)′ = A′ ∪ B′ | Ambas dan {1,3,5,7,8,9,10,11,12} ✓ |
| Absorción | A∪(A∩B) = A · A∩(A∪B) = A | — |
3.3 · Tablas de contingencia: contingencial, relativa y marginal
Anatomía de la tabla — la nomenclatura exacta que pidió el tablero
| Nombre | Qué contiene | Fórmula | Ejemplo con la empresa de 500 |
|---|---|---|---|
| Contingencial (absoluta) | Los conteos crudos de cada cruce | nij | 90 mujeres en Administrativa |
| Relativa (conjunta) | Cada casilla dividida entre el gran total | fij = nij / N | 90/500 = 0,18 → P(M∩A) |
| Marginal | Totales de fila y de columna sobre N | fi· = ni·/N | 240/500 = 0,48 → P(M) |
| Condicional (perfil de fila/columna) | Cada casilla sobre el total de su fila o su columna | nij / ni· | 90/150 = 0,60 → P(M|A) |
Ejemplo nuevo, distinto al del taller · Café y modalidad de estudio
En una facultad se encuestó a 400 estudiantes sobre si toman café antes de clase, cruzado con su modalidad.
| Toma café (K) | No toma (K′) | Total | |
|---|---|---|---|
| Presencial (R) | 150 | 90 | 240 |
| Virtual (V) | 70 | 90 | 160 |
| Total | 220 | 180 | 400 |
| K | K′ | Marg. | |
|---|---|---|---|
| R | 0,375 | 0,225 | 0,600 |
| V | 0,175 | 0,225 | 0,400 |
| Marg. | 0,550 | 0,450 | 1,000 |
| P(K|·) | P(K′|·) | Σ | |
|---|---|---|---|
| R | 150/240 = 0,625 | 0,375 | 1,000 |
| V | 70/160 = 0,4375 | 0,5625 | 1,000 |
Ver el análisis de independencia paso a paso
Prueba: ¿P(R ∩ K) = P(R) · P(K)?
Observado: 150/400 = 0,375 Esperado: 0,600 × 0,550 = 0,3300,375 ≠ 0,330 → dependientes. La frecuencia esperada sería 0,330 × 400 = 132 y hay 150: 18 estudiantes de exceso.
Confirmación por el condicional: P(K|R) = 0,625 frente a P(K) = 0,550. Ser presencial aumenta en 7,5 puntos la probabilidad de tomar café, lo cual tiene sentido: quien va al campus pasa por la cafetería.
| K esperado | K observado | K′ esperado | K′ observado | |
|---|---|---|---|---|
| R | 240·220/400 = 132 | 150 | 108 | 90 |
| V | 160·220/400 = 88 | 70 | 72 | 90 |
Fíjate en el patrón: los excesos y déficits siempre valen lo mismo en valor absoluto (18) y se alternan en signo. En una tabla 2×2 eso ocurre siempre, y es la base del estadístico chi-cuadrado.
3.4 · Espacio muestral falta en el PDF
| Experimento | |Ω| | Espacio muestral |
|---|---|---|
| 1 moneda | 21 = 2 | {c, s} |
| 2 monedas | 22 = 4 | {cc, cs, sc, ss} |
| 3 monedas | 23 = 8 | {ccc, ccs, csc, scc, css, scs, ssc, sss} |
| 1 dado | 6 | {1, 2, 3, 4, 5, 6} |
| 2 dados | 62 = 36 | {(1,1), (1,2), …, (6,6)} |
| 3 bolas b/n con reposición | 23 = 8 | {(b,b,b), (b,b,n), …, (n,n,n)} |
| Carta de una baraja de 52 | 52 | 13 valores × 4 palos |
| Tiempo de espera en un banco | infinito no numerable | [0, ∞) |
3.5 · Propiedades de la probabilidad falta en el PDF
A2 · Normalización: P(Ω) = 1.
A3 · Aditividad: si A ∩ B = ∅, entonces P(A ∪ B) = P(A) + P(B).
| # | Propiedad | Por qué es cierta | Ejemplo con el taller |
|---|---|---|---|
| P1 | P(∅) = 0 | Ω ∪ ∅ = Ω y son disjuntos → 1 = 1 + P(∅). | «Trabajar en dos áreas a la vez»: imposible. |
| P2 | 0 ≤ P(A) ≤ 1 | Por A1 no baja de 0; por monotonía no supera P(Ω) = 1. | Ninguna respuesta del taller puede dar 1,3 ni −0,2. |
| P3 | P(A′) = 1 − P(A) | A ∪ A′ = Ω y son disjuntos. | P(H) = 1 − P(M) = 1 − 0,48 = 0,52 ✓ |
| P4 | Monotonía: A ⊆ B ⇒ P(A) ≤ P(B) | B = A ∪ (B−A), disjuntos, y el segundo término es ≥ 0. | P(M∩P) = 0,16 ≤ P(M) = 0,48 ✓ |
| P5 | Adición general P(A∪B) = P(A)+P(B)−P(A∩B) | Se descompone A∪B en tres piezas disjuntas y se aplica A3. | P(A∪M) = 0,30+0,48−0,18 = 0,60 ✓ |
| P6 | Subaditividad (Boole) P(A∪B) ≤ P(A)+P(B) | Porque P(A∩B) ≥ 0; hay igualdad solo si son disjuntos. | 0,60 ≤ 0,78 ✓ |
| P7 | Diferencia P(A−B) = P(A) − P(A∩B) | A = (A−B) ∪ (A∩B), disjuntos. | Solo fútbol: 0,60 − 0,2667 = 0,3333 ✓ |
Si las probabilidades de una partición no suman 1, hay error seguro (violaste A2 + A3).
Si P(A|B) > 1, usaste mal el denominador. Revisa siempre estas tres cosas antes de entregar.
Las tres definiciones históricas de probabilidad
Clásica (Laplace, 1812)
P(A) = |A||Ω|Requiere equiprobabilidad. Es la que usa todo el Taller 1. No sirve para un dado cargado ni para «¿lloverá mañana?».
Frecuentista (von Mises)
P(A) = limn→∞ nAnLa probabilidad como el límite de la frecuencia relativa. Es lo que ilustra la tabla del dado de 240 lanzamientos del módulo y el simulador.
Subjetiva / bayesiana
Grado de creencia razonable, actualizable con evidencia mediante el Teorema de Bayes. El módulo la llama «probabilidad inductiva: el grado de credibilidad a una proporción que describe un evento dependiendo de la evidencia de los hechos».
3.6 · Eventos: tipos y relaciones
| Tipo | Notación | Definición | Ejemplo con un dado (Ω = {1..6}) |
|---|---|---|---|
| Simple / elemental | {ω} | Un solo punto muestral. | {4} — «sale 4». P = 1/6 |
| Compuesto | A ⊆ Ω, |A| ≥ 2 | Dos o más puntos muestrales. | {2,4,6} — «sale par». P = 1/2 |
| Seguro | Ω | Ocurre siempre. P = 1 | {1,...,6} — «sale un número ≤ 6» |
| Imposible | ∅ | Nunca ocurre. P = 0 | «sale 7» |
| Compatibles | A ∩ B ≠ ∅ | Pueden ocurrir a la vez. | «par» y «múltiplo de 3»: comparten el 6 |
| Incompatibles (mutuamente excluyentes) | A ∩ B = ∅ | No pueden ocurrir juntos. | «par» e «impar» |
| Independientes | P(A∩B) = P(A)P(B) | Uno no informa sobre el otro. | Resultado del dado rojo y del dado azul |
| Dependientes | P(A∩B) ≠ P(A)P(B) | Uno cambia la probabilidad del otro. | Sacar dos cartas sin reposición |
| Contrario / complementario | A′, Ā, Ac | A ∪ A′ = Ω y A ∩ A′ = ∅ | «par» y «impar» son contrarios |
El cuadro que hay que memorizar: excluyentes vs. independientes
Ejercicios resueltos de refuerzo
E1. En un grupo de 40 estudiantes, 25 aprobaron Cálculo, 20 aprobaron Estadística y 12 aprobaron ambas. Se elige un estudiante al azar.
Ver solución completa
Sea C: aprobó Cálculo, E: aprobó Estadística. |Ω| = 40, |C| = 25, |E| = 20, |C∩E| = 12.
| Pregunta | Expresión | Cálculo | Resultado |
|---|---|---|---|
| a) Aprobó al menos una | P(C∪E) | (25+20−12)/40 = 33/40 | 0,825 = 82,5 % |
| b) No aprobó ninguna | P((C∪E)′) | 1 − 0,825 | 0,175 = 17,5 % (7 estudiantes) |
| c) Solo Cálculo | P(C−E) | (25−12)/40 = 13/40 | 0,325 = 32,5 % |
| d) Solo Estadística | P(E−C) | (20−12)/40 = 8/40 | 0,200 = 20 % |
| e) Exactamente una | P(C △ E) | 13/40 + 8/40 = 21/40 | 0,525 = 52,5 % |
| f) Aprobó Estadística dado que aprobó Cálculo | P(E|C) | 12/25 | 0,480 = 48 % |
| g) ¿Independientes? | P(C∩E) vs P(C)P(E) | 0,300 vs 0,625×0,500 = 0,3125 | No: dependientes |
Control: 13 + 12 + 8 + 7 = 40 ✓
E2. Se lanzan dos dados. Sean A: «la suma es 7», B: «el primer dado muestra 3», D: «la suma es par».
Ver solución completa
|Ω| = 36.
A = {(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)} → |A| = 6, P(A) = 6/36 = 1/6 ≈ 0,1667.
B: seis pares (3,1)…(3,6) → P(B) = 6/36 = 1/6.
A ∩ B = {(3,4)} → P(A∩B) = 1/36 ≈ 0,0278.
¿A y B independientes? P(A)P(B) = (1/6)(1/6) = 1/36. Sí, son independientes — un resultado contraintuitivo precioso: saber que el primer dado salió 3 no cambia la probabilidad de que la suma sea 7, porque para cualquier valor del primer dado siempre hay exactamente un valor del segundo que completa 7.
¿A y D? La suma 7 es impar, así que A ∩ D = ∅: mutuamente excluyentes, y por tanto dependientes (0 ≠ (1/6)(1/2)). Un mismo problema con los dos casos en una sola página.
Adelanto completo: los temas del Taller 2
Los siete temas del tablero — probabilidad, técnicas de conteo, principio de multiplicación, combinación, permutación (variación), diagrama de árbol y teorema de Bayes — desarrollados antes de que llegue el taller. Con árbol de decisión para escoger la fórmula, ejemplos nuevos y ejercicios resueltos. Entrega prevista: 21 de septiembre de 2026.
Todos estos temas están en la Unidad 1, Tema 2 del módulo oficial (páginas 21 a 54), así que el taller saldrá de ahí. Los tres marcados con asterisco son las tres técnicas centrales de conteo.
4.1 · Probabilidad: los tres enfoques y las reglas
Regla del complemento
P(A′) = 1 − P(A)La herramienta más rentable del curso: cualquier «al menos uno» se resuelve como 1 − P(ninguno).
Regla de la adición
P(A∪B) = P(A)+P(B)−P(A∩B)Palabra clave: «o».
Regla de la multiplicación
P(A∩B) = P(A)·P(B|A)Palabra clave: «y». Si son independientes, P(B|A) = P(B).
| «y», «ambos», «a la vez», «simultáneamente» | ∩ → multiplicar |
| «o», «al menos uno», «alguno» | ∪ → sumar y restar la intersección |
| «no», «ninguno», «falla» | ′ → 1 − P |
| «dado que», «si se sabe que», «entre los…» | | → condicional, cambia el denominador |
| «al menos uno» | 1 − P(ninguno) |
| «a lo sumo k», «máximo k» | P(0) + P(1) + … + P(k) |
4.2 · Técnicas de conteo: el árbol de decisión
El 90 % de los errores en este tema no son de cálculo: son de elegir mal la fórmula. Este diagrama la elige por ti.
4.3 · Principio de multiplicación (regla del producto)
Es la base de todo el conteo: las permutaciones y variaciones no son más que aplicaciones suyas.
Ejemplos nuevos, resueltos con el esquema de casillas
| Problema | Casillas | Resultado |
|---|---|---|
| Placa colombiana de auto: 3 letras (26) + 3 dígitos (10), con repetición | 26·26·26·10·10·10 | 17 576 000 |
| PIN de 4 dígitos | 104 | 10 000 |
| PIN de 4 dígitos sin repetir | 10·9·8·7 | 5 040 |
| Menú: 3 entradas, 5 platos, 4 postres | 3·5·4 | 60 |
| Contraseña de 6 caracteres: minúsculas + dígitos (36 símbolos) | 366 | 2 176 782 336 |
| Examen de 12 preguntas V/F | 212 | 4 096 |
| Números de 3 cifras que empiecen por dígito no nulo | 9·10·10 | 900 |
| Números pares de 3 cifras distintas con {1,2,3,4,5} | 2·4·3 (última cifra 2 o 4) | 24 |
4.4 · Permutación y variación
Permutación de n elementos (todos)
Pn = n!Todas las ordenaciones posibles usando todos los elementos.
Ejemplo: 5 libros en un estante → 5! = 120 formas.
Variación / permutación de r tomados de n
P(n,r) = Vrn = n!(n−r)! = n(n−1)…(n−r+1)Se ordenan solo r de los n, sin repetir.
Ejemplo: podio de 8 atletas → 8!/5! = 336.
Variación con repetición
VR = nrr casillas, cada una con n opciones que se pueden repetir.
Ejemplo: quiniela de 15 casillas con 3 signos → 315 = 14 348 907.
Permutación con elementos repetidos
P = n!n1! · n2! … nk!Cuando hay grupos de elementos indistinguibles.
Ejemplo: «ESTADISTICA» tiene 11 letras con A×2, S×2, T×2, I×2 → 11!/(2!·2!·2!·2!) = 39 916 800/16 = 2 494 800.
4.5 · Combinación
Propiedades del número combinatorio
| C(n,0) = C(n,n) = 1 | Una sola forma de elegir nada o todo. |
| C(n,1) = n | — |
| C(n,r) = C(n, n−r) | Simetría. Elegir 3 de 10 es lo mismo que descartar 7. |
| C(n,r) = C(n−1,r−1) + C(n−1,r) | Regla de Pascal: cada número es la suma de los dos de arriba. |
| ∑r=0n C(n,r) = 2n | Total de subconjuntos = conjunto potencia. |
Triángulo de Pascal — cada fila son los C(n,r):
Ejemplos nuevos, con la trampa señalada
| Problema | Herramienta | Cálculo | Resultado |
|---|---|---|---|
| Comité de 4 personas de un grupo de 12 | Combinación | C(12,4) | 495 |
| Presidente, tesorero y secretario de 12 personas | Variación (¡los cargos son distintos!) | 12·11·10 | 1 320 |
| Baloto: 6 números de 45 | Combinación | C(45,6) | 8 145 060 |
| Mano de 5 cartas de una baraja de 52 | Combinación | C(52,5) | 2 598 960 |
| De 8 hombres y 6 mujeres, un comité de 3 hombres y 2 mujeres | Producto de combinaciones | C(8,3)·C(6,2) = 56·15 | 840 |
| Apretones de mano entre 10 personas | Combinación | C(10,2) | 45 |
| Diagonales de un decágono | Combinación menos lados | C(10,2) − 10 | 35 |
Ejercicio clásico resuelto. De una urna con 7 bolas rojas y 5 azules se extraen 4 bolas simultáneamente. ¿Probabilidad de que exactamente 2 sean rojas?
Ver solución paso a paso
Tamaño del espacio muestral
Se extraen 4 de 12 sin importar el orden:
|Ω| = C(12,4) = 12!4!·8! = 12·11·10·924 = 495Casos favorables
Elegir 2 rojas de 7 y 2 azules de 5. «Y» → se multiplica.
C(7,2) × C(5,2) = 21 × 10 = 210Probabilidad clásica
P = 210495 = 1433 = 0,4242 = 42,42 %Verificación de cierre (distribución hipergeométrica)
| Rojas | Favorables | Probabilidad |
|---|---|---|
| 0 | C(7,0)·C(5,4) = 1·5 = 5 | 0,0101 |
| 1 | C(7,1)·C(5,3) = 7·10 = 70 | 0,1414 |
| 2 | C(7,2)·C(5,2) = 21·10 = 210 | 0,4242 |
| 3 | C(7,3)·C(5,1) = 35·5 = 175 | 0,3535 |
| 4 | C(7,4)·C(5,0) = 35·1 = 35 | 0,0707 |
| Σ | 495 | 1,0000 |
Las cinco probabilidades suman exactamente 1 y los casos favorables suman exactamente C(12,4). Esa doble verificación es la señal de que no se te escapó ningún caso.
4.6 · Diagrama de árbol
La suma de todas las hojas debe dar exactamente 1: ese es tu control de errores.
Ejemplo con y sin reposición — la comparación que hay que entender
Una urna tiene 3 bolas blancas y 2 negras. Se extraen dos bolas.
Con reposición → independientes
Sin reposición → dependientes
| Evento | Con reposición | Sin reposición | Comentario |
|---|---|---|---|
| Dos blancas | 9/25 = 0,360 | 6/20 = 0,300 | Baja: al sacar una blanca quedan menos. |
| Dos negras | 4/25 = 0,160 | 2/20 = 0,100 | Baja aún más. |
| Una de cada color | 12/25 = 0,480 | 12/20 = 0,600 | Sube: la mezcla se vuelve más probable. |
| Σ | 1,000 | 1,000 | ✓ |
Sin reposición se puede resolver también por combinaciones: P(2 blancas) = C(3,2)/C(5,2) = 3/10 = 0,30 ✓. Las dos vías deben coincidir siempre.
4.7 · Teorema de Bayes
El método tabular de cinco columnas (el que exige el módulo)
| Columna | Contenido | Control |
|---|---|---|
| 1.ª | Los eventos mutuamente excluyentes A1, …, An | Deben ser una partición |
| 2.ª | Probabilidades previas P(Ai) | Suman 1 |
| 3.ª | Probabilidades condicionales P(B|Ai) | NO suman 1 |
| 4.ª | Conjuntas: columna 2 × columna 3 | Su suma es P(B) |
| 5.ª | Posteriores: columna 4 ÷ suma de la columna 4 | Suman 1 |
Ejemplo nuevo · la prueba médica (el clásico que sorprende a todo el mundo)
Una enfermedad afecta al 1 % de la población. Una prueba detecta al 99 % de los enfermos (sensibilidad) y da 5 % de falsos positivos. Si tu prueba sale positiva, ¿qué probabilidad tienes de estar enfermo?
Solución
| Causa | Previa | P(+|causa) | Conjunta | Posterior |
|---|---|---|---|---|
| Enfermo (E) | 0,01 | 0,99 | 0,0099 | 0,0099/0,0594 = 0,1667 |
| Sano (E′) | 0,99 | 0,05 | 0,0495 | 0,0495/0,0594 = 0,8333 |
| Σ | 1,00 | — | P(+) = 0,0594 | 1,0000 |
La lección: P(+|E) = 0,99 pero P(E|+) = 0,17. Confundirlas es la falacia del fiscal. Este es el mejor ejemplo posible para exponer en clase.
Ejercicio propuesto (del módulo, pendiente de solución). Se tienen tres bolsas de confites: la bolsa 1 con 2 de mora, 10 de chocolate y 12 de maní; la bolsa 2 con 6 de mora, 12 de chocolate y 15 de maní; la bolsa 3 con 8 de mora, 7 de chocolate y 9 de maní. Se selecciona una bolsa al azar y se extrae un dulce. Si el dulce es de mora, ¿cuál es la probabilidad de que sea de la bolsa 2?
Ver solución
Totales por bolsa: B1 = 24, B2 = 33, B3 = 24. Previas: P(Bi) = 1/3 cada una (se escoge la bolsa al azar).
| Bolsa | Previa | P(mora | bolsa) | Conjunta | Posterior |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 1/3 | 2/24 = 0,08333 | 0,027778 | 0,1735 |
| 2 | 1/3 | 6/33 = 0,18182 | 0,060606 | 0,3785 |
| 3 | 1/3 | 8/24 = 0,33333 | 0,111111 | 0,6939 ← revisar |
| Σ | 1 | — | 0,199495 | 1,0000 |
Cálculo correcto: P(mora) = 0,027778 + 0,060606 + 0,111111 = 0,199495.
P(B2 | mora) = 0,0606060,199495 = 0,3038 = 30,38 %Posteriores completas: B1 = 0,1392 · B2 = 0,3038 · B3 = 0,5570. Suman 1,0000 ✓. La bolsa 3 es la más probable porque un tercio de sus dulces son de mora.
(La fila «revisar» de la tabla ilustra a propósito el error de dividir entre el total equivocado: úsala en clase para mostrar por qué la columna 5 debe sumar 1.)
Taller N.º 2 pendiente
Espacio reservado para la solución del Taller 2 en cuanto el docente entregue el enunciado. Fecha prevista de entrega según el tablero: 21 de septiembre de 2026 · valor 25 %.
Esperando el enunciado
Cuando tengas el PDF del Taller 2, este módulo se llena con la solución paso a paso, con el mismo formato del Módulo 2: enunciado, procedimiento, fórmula, reemplazo, resultado en decimal y porcentaje, interpretación y diagrama.
Preparación anticipada
| Tema del tablero | Estado | Dónde está preparado |
|---|---|---|
| Probabilidad | Listo | § 4.1 — reglas de complemento, adición y multiplicación + diccionario de palabras clave |
| Técnicas de conteo | Listo | § 4.2 — árbol de decisión para escoger la fórmula |
| Principio de multiplicación | Listo | § 4.3 — 8 ejemplos con el esquema de casillas |
| Combinación | Listo | § 4.5 — propiedades, Pascal, 7 ejemplos + hipergeométrica |
| Permutación (variación) | Listo | § 4.4 — las 4 variantes, incluida la de elementos repetidos |
| Diagrama de árbol | Listo | § 4.6 — con y sin reposición, comparados |
| Teorema de Bayes | Listo | § 4.7 — método tabular + ejemplo médico + confites |
| Herramientas de cálculo | Listo | Calculadora combinatoria, constructor de árboles, motor de Bayes |
| Práctica | Listo | Banco de 18 problemas y autoevaluación |
| Solución del enunciado real | Pendiente | Este módulo, cuando llegue el PDF |
Clase animada · Taller 4
El Profe Tomás explica en voz alta los 13 ejercicios del Taller 4 —técnicas de conteo y probabilidad— y escribe cada paso en el tablero. Dura unos 12 minutos. Se puede pausar, volver atrás, cambiar la velocidad o saltar directo a un ejercicio.
Guion de la clase
Lo que dice el Profe Tomás, ejercicio por ejercicio
Bienvenida
¡Hola! Soy el profe Tomás. Hoy vamos a resolver, paso a paso, los trece ejercicios del taller cuatro de conteo y probabilidad. Antes de empezar, recuerden las dos preguntas que nos acompañan siempre en conteo: ¿importa el orden?, y ¿uso todos los elementos o solo algunos? Pueden pausar cuando quieran. ¡Empecemos!
P1 · Placas de 3 letras y 3 dígitos
Ejercicio uno. Una placa tiene tres letras seguidas de tres dígitos, y se pueden repetir. ¿Cuántas placas distintas hay? Primero dibujamos seis casillas: tres para letras y tres para dígitos. Como llenamos una casilla y después la otra, usamos el principio multiplicativo. Cada letra tiene veintiséis opciones, y se pueden repetir. Veintiséis al cubo da 17576. Cada dígito tiene diez opciones, del cero al nueve. Diez al cubo es mil. Multiplicamos los dos bloques. Respuesta: diecisiete millones quinientas setenta y seis mil placas.
P2 · Simplificar factoriales
Ejercicio dos. Vamos a calcular nueve factorial por dos factorial, dividido entre dos factorial por seis factorial. Lo primero es mirar qué se repite. El dos factorial está arriba y abajo, así que se cancela. Nos queda nueve factorial sobre seis factorial. El truco es no calcular los factoriales completos. Abrimos el nueve factorial hasta que aparezca el seis factorial: nueve por ocho por siete por seis factorial. Ahora el seis factorial se cancela, y solo quedan tres factores. Nueve por ocho es setenta y dos, y setenta y dos por siete es quinientos cuatro. La respuesta es quinientos cuatro.
P3 · Capitán y subcapitán / pareja
Ejercicio tres. Tenemos doce jugadores. Primero elegimos capitán y subcapitán, y luego una pareja para dobles. Pregunta clave: ¿importa el orden? Para capitán y subcapitán, sí, porque son cargos distintos. Juan capitán y Pedro subcapitán no es lo mismo que al revés. Usamos una variación. Hay doce opciones para capitán, y quedan once para subcapitán. Doce por once, ciento treinta y dos. En la pareja de dobles el orden no importa: Juan con Pedro es la misma pareja que Pedro con Juan. Usamos combinación. Doce por once, dividido entre dos, da sesenta y seis parejas. Fíjense: ciento treinta y dos es el doble de sesenta y seis, porque cada pareja se puede ordenar de dos formas. Respuestas: ciento treinta y dos, y sesenta y seis.
P4 · Palabras con ESTADISTICA
Ejercicio cuatro. ¿Cuántas palabras distintas se forman con las letras de la palabra estadística? Paso uno: contamos las letras. Son once. Paso dos: hacemos la lista de frecuencias. La ese, la te, la a y la i aparecen dos veces. La e, la de y la ce, una vez. Si sumamos, da once, así que la lista está bien. Paso tres: dividimos once factorial entre dos factorial cuatro veces, una por cada letra repetida. Se divide porque intercambiar dos letras iguales produce la misma palabra. Treinta y nueve millones novecientos dieciséis mil ochocientos, entre dieciséis, da dos millones cuatrocientas noventa y cuatro mil ochocientas palabras.
P5 · Números de cuatro cifras
Ejercicio cinco. Con las cifras cero, dos, cuatro, seis y ocho, sin repetir, ¿cuántos números de cuatro cifras se pueden formar? Cuidado: un número no puede empezar en cero. Por eso empezamos por la primera casilla, que tiene solo cuatro opciones. En la segunda casilla ya sí puede ir el cero, así que hay cuatro opciones otra vez. Luego quedan tres, y después dos. Multiplicamos y obtenemos noventa y seis números. Verificamos por complemento. Sin restricción serían ciento veinte ordenaciones. Las que empiezan en cero son veinticuatro. Ciento veinte menos veinticuatro, noventa y seis. ¡Coincide!
P6 · Dos que no van juntos
Ejercicio seis. De nueve estudiantes elegimos una comisión de tres, pero dos estudiantes, que llamaremos A y B, no pueden ir juntos. Una comisión es un grupo, así que el orden no importa. El total sin restricción es la combinación de nueve en tres: ochenta y cuatro. Ahora contamos lo prohibido: A y B juntos. Los fijamos y queda un solo cupo, que se elige entre los otros siete. Son siete comisiones. Al total le quitamos lo prohibido: ochenta y cuatro menos siete, setenta y siete comisiones. Verificamos por casos. Sin ninguno de los dos: treinta y cinco. Con exactamente uno de ellos: cuarenta y dos. En total, setenta y siete.
P7 · Ingenieros y técnicos
Ejercicio siete. Formamos un equipo con tres ingenieros, escogidos entre seis, y dos técnicos, escogidos entre cinco. Primero los ingenieros: la combinación de seis en tres da veinte. Luego los técnicos: la combinación de cinco en dos da diez. Elegimos los ingenieros y también los técnicos, así que multiplicamos: doscientos equipos. Ojo: no se puede calcular la combinación de once en cinco, porque eso incluiría equipos con cualquier mezcla, por ejemplo cinco ingenieros y ningún técnico.
P8 · Seis personas en fila
Ejercicio ocho. Seis personas se sientan en fila, pero dos de ellas no quieren quedar juntas. Sin restricción, las seis personas se ordenan de seis factorial formas: setecientas veinte. Ahora contamos cuando sí quedan juntas. Las pegamos en un bloque y quedan cinco objetos por ordenar: ciento veinte formas. Dentro del bloque se pueden intercambiar, así que multiplicamos por dos: doscientas cuarenta. Restamos: setecientos veinte menos doscientos cuarenta, cuatrocientas ochenta formas.
P9 · Ni carro ni moto
Ejercicio nueve. De doscientas personas, ciento veinte tienen carro, noventa tienen moto y cuarenta tienen ambos. ¿Qué probabilidad hay de que una persona no tenga ninguno? Hacemos el diagrama de Venn. En la intersección van los cuarenta que tienen ambos. Solo carro: ciento veinte menos cuarenta, ochenta. Solo moto: noventa menos cuarenta, cincuenta. Carro o moto: ciento veinte más noventa, menos cuarenta. Restamos la intersección para no contarla dos veces. Da ciento setenta. Los que no tienen ninguno son doscientos menos ciento setenta: treinta personas. La probabilidad es treinta sobre doscientos, es decir, cero coma quince.
P10 · Tabla de contingencia
Ejercicio diez. Con esta tabla calculamos dos cosas: la probabilidad de no trabajar dado que no usa transporte, y la probabilidad de trabajar o usar transporte. En una probabilidad condicional, lo más importante es el denominador. La condición es no usar transporte, así que el universo se reduce a esa columna: setenta estudiantes. De esos setenta, los que no trabajan son cuarenta. Cuarenta sobre setenta da cero coma cinco siete uno cuatro. Para la unión sumamos los que trabajan, cien, más los que usan transporte, ciento treinta, y restamos los que cumplen ambas cosas, setenta. Queda ciento sesenta sobre doscientos. Eso es cero coma ochenta. Verificación: la única casilla por fuera de la unión es la de cuarenta, y uno menos cuarenta sobre doscientos también da cero coma ochenta.
P11 · ¿Independientes o excluyentes?
Ejercicio once. Nos dan tres probabilidades, y hay que decidir si los eventos son independientes y si son excluyentes. Para la independencia, multiplicamos las probabilidades: cero coma cuatro por cero coma cinco da cero coma dos. Es igual a la intersección. Entonces sí son independientes. Para ser excluyentes, la intersección tendría que ser cero. Pero es cero coma dos, así que no son excluyentes. Conclusión: son independientes, pero no excluyentes. Recuerden que son dos conceptos diferentes.
P12 · Fusibles sin reemplazo
Ejercicio doce. En una caja hay cuatro fusibles buenos y dos defectuosos. Sacamos dos, sin reemplazo. ¿Cuál es la probabilidad de que al menos uno sea defectuoso? Cuando aparece la expresión al menos uno, usamos el complemento. Lo contrario de al menos un defectuoso es que ambos sean buenos. El primero bueno: cuatro de seis. Como no hay reemplazo, quedan tres buenos de cinco. Multiplicamos a lo largo de la rama y obtenemos dos quintos. Uno menos dos quintos es tres quintos, es decir, cero coma seis. Verificamos sumando las ramas favorables: bueno y defectuoso, defectuoso y bueno, y los dos defectuosos. Da dieciocho treintavos, cero coma seis.
P13 · Probabilidad total y Bayes
Último ejercicio, el trece. Tres proveedores aportan el cincuenta, el treinta y el veinte por ciento de los insumos, con tasas de falla del uno, el dos y el cuatro por ciento. Bajamos por el árbol, multiplicando cada rama que termina en falla: cero coma cero cero cinco, cero coma cero cero seis y cero coma cero cero ocho. Probabilidad total: sumamos las tres ramas y obtenemos cero coma cero uno nueve. Ahora aplicamos Bayes, que es subir por el árbol. Si sabemos que hubo falla, ¿qué tan probable es que venga del proveedor tres? Tomamos su rama, cero coma cero cero ocho, y la dividimos entre la probabilidad total. Da cero coma cuatro dos uno uno. El proveedor tres aporta solo el veinte por ciento de los insumos, pero causa el cuarenta y dos por ciento de las fallas. Con esto terminamos el taller. ¡Muy buen trabajo! Repasen los pasos y nos vemos en la próxima clase.
Zona de estudio
Escoge un tema y aparece todo lo relacionado con él: definición, fórmulas, dónde está explicado, qué herramienta lo calcula, ejercicios y los errores típicos. Puedes filtrar por módulo o buscar por palabra.
Laboratorio interactivo
Siete herramientas que calculan, dibujan y verifican. Todas funcionan sin conexión y muestran el procedimiento, no solo el resultado — sirven para revisar tus respuestas y para proyectar en clase.
1 · Analizador de tablas de contingencia
2 · Diagrama de Venn de dos conjuntos
3 · Calculadora combinatoria
4 · Constructor de diagramas de árbol
5 · Motor de Bayes (método tabular)
6 · Simulador de azar — la ley de los grandes números
7 · Autoevaluación
Banco de problemas para resolver en clase
Dieciocho problemas graduados, con solución oculta. Sirven para proponer en el tablero, para practicar el parcial del 5 de octubre, o para que el docente los use como banco. Cada uno indica el tema y la dificultad.
Auditoría: verificación del material
Recalculé todos los resultados numéricos del módulo oficial y del taller. Esta es la lista completa de lo que no cuadra, con la corrección. Nada de esto invalida el material; son erratas de edición que conviene conocer antes de un parcial.
| # | Pág. | Lo que dice el módulo | Lo correcto | Gravedad |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 13 | «el 6 es par y múltiplo de 6» (ejemplo de sucesos compatibles con B: múltiplo de 3) | El 6 es par y múltiplo de 3. | Leve tipográfica |
| 2 | 16 | «Si son mutuamente excluyentes, entonces P(A o B) = P(A)+P(B)−P(A y B)» | Invertido. Si son excluyentes: P(A)+P(B). En general: P(A)+P(B)−P(A∩B). Además P(A)∪P(B) no es notación válida. | Grave conceptual |
| 3 | 42 | Tabla de Bayes: A₁ → 0,581 y A₂ → 0,419 | Intercambiadas. A₁ → 0,419 y A₂ → 0,581 (como sí dice el texto de la pág. 41). Sin redondear: 0,4262 y 0,5738. | Grave resultado |
| 4 | 42 | 0,35 × 0,05 = 0,018 y P(M) = 0,031 | 0,0175 y P(M) = 0,0305. El redondeo prematuro desplaza las posteriores casi un punto. | Medio |
| 5 | 44 | Posterior de A₁: «0,01 / 0,39» | 0,10 / 0,39 = 0,256. El resultado publicado sí es correcto; el numerador está mal escrito. | Leve |
| 6 | 52 | P(D) = 0,03134 | P(D) = 0,0313 exactamente (0,016+0,0099+0,0054). | Leve |
| 7 | 59 | «Llamar a 5 clientes» → x = 1,2,3,4,5 | Debe incluir el 0: x = 0,1,2,3,4,5. | Medio conceptual |
| 8 | 79 | «un suceso tiene lugar en promedio cada 2 segundos… λ = 15 × 2 = 30» | Si ocurre cada 2 s, en 15 s ocurre 7,5 veces. El 30 solo vale si ocurre 2 veces por segundo. Es un error de traducción del original. | Grave conceptual |
| 9 | 95 | μ + 2σ = 100 − 2(15) | Debe ser μ − 2σ. Los rangos que reporta ([70,130]) sí son correctos. | Leve |
| 10 | 50 | Ejercicio 23 (fútbol): concluye P(gane el 2.º | ganó el 1.º) = 0,67 | Incoherente: el enunciado dice que el equipo gana dos y luego pierde o empata, lo cual hace los partidos dependientes; el cálculo usa independencia. Con el patrón G G Q repetido, si ganó el primero de un bloque, gana el segundo con probabilidad 1; si ganó el segundo, no gana el tercero. El ejercicio está mal planteado. | Grave conceptual |
| 11 | 126-127 | Ejercicios de intervalos de confianza | Usan z = 1 para 99 % (debe ser 2,576), afirman P(Z=3,95) = 0,99 (la tabla da 0,99996 y una probabilidad puntual continua es 0) y los datos no corresponden al enunciado. No usar como modelo. | Grave |
| Hallazgo | Detalle y recomendación |
|---|---|
| Título vs. encabezado | La portada dice «TALLER No. 2» y las siete páginas dicen «Taller No. 1». Por contenido es el Taller 1. Recomendación: avisar al docente y escribir «Taller 1» en la entrega. |
| Tabla consistente | La tabla de 500 empleados cierra perfectamente en filas, columnas y gran total. sin errores |
| Parte II consistente | 180 + 140 − 80 = 240 ≤ 300, así que el problema tiene solución válida (60 no practican ninguno). sin errores |
| Parte III consistente | Los tres conjuntos son subconjuntos de U y las doce operaciones están bien planteadas. sin errores |
| Temas faltantes | Frente al tablero faltan tabla relativa, espacio muestral y propiedades de la probabilidad; los eventos se cubren solo parcialmente. Ver la auditoría de cobertura. |
| Tema añadido | El PDF incluye probabilidad condicional, que el tablero listó para el Taller 1 solo de forma implícita dentro de «principios básicos». No es un problema: es contenido válido y necesario. |
Qué más le podemos agregar
Ideas concretas, ordenadas por lo que más aportaría a la nota y al aprendizaje. Dime cuáles quieres y las construyo.
1 · Módulo del Parcial 1 (5 de octubre)
Simulacro cronometrado con 20 preguntas mezcladas de los talleres 1 y 2, calificación automática, informe de temas débiles y repaso dirigido a las secciones que fallaste.
Alto impacto2 · Tablas estadísticas integradas
Tabla Z (normal estándar), tabla binomial, tabla de Poisson y tabla t de Student, buscables e interactivas, sin salir del archivo. Indispensables para las unidades 2 y 3.
Alto impacto3 · Modo presentación real
Vista de diapositivas: una sección por pantalla, avance con flechas, temporizador y notas del expositor visibles solo para ti. Convertiría el archivo en tu presentación de clase.
Muy útil para exponer4 · Generador de ejercicios infinitos
Botón «nuevo ejercicio» que crea tablas de contingencia, problemas de Venn y de conteo con números aleatorios coherentes y su solución completa. Práctica ilimitada antes del parcial.
Alto impacto5 · Calculadora de distribuciones
Binomial, Poisson, normal y exponencial: metes los parámetros y devuelve la probabilidad puntual, acumulada y la gráfica de la distribución con el área sombreada.
Unidad 26 · Formulario de una página
Hoja imprimible tamaño carta con todas las fórmulas del curso organizadas por tema, para llevar al parcial si el docente lo permite, o para repaso rápido.
Rápido de hacer7 · Seguimiento de progreso
Marca temas como «estudiado / en repaso / dominado», con barra de avance por módulo y un panel que te dice qué estudiar hoy según lo que falta para la próxima fecha.
Motivador8 · Glosario flotante
Términos técnicos subrayados en todo el documento; al pasar el mouse aparece la definición sin perder el hilo de la lectura.
Rápido de hacer9 · Ampliar el módulo del docente
Al seguimiento de notas se le puede añadir control de asistencia por sesión, histórico de varios grupos, notas parciales dentro de cada taller y gráfica de evolución del grupo.
Para el docente10 · Aplicación a datos reales
Un módulo que tome una tabla real (DANE, encuesta del salón, datos de tu trabajo) y aplique todo el análisis: contingencia, independencia, Bayes. Los proyectos con datos propios suelen valer más.
Diferenciador11 · Modo bilingüe de términos
Cada término con su equivalente en inglés (joint probability, marginal, likelihood, prior, posterior). Ayuda muchísimo para buscar material y videos.
Rápido de hacer12 · Solución del Taller 2
En cuanto tengas el PDF, el Módulo 5 se llena con el mismo estándar del Módulo 2. Es lo primero que hay que hacer cuando lo entreguen.
Esperando enunciadoSeguimiento y notas del grupo
Base de datos local del docente. Registra estudiantes por nombre completo y cédula, califica las cuatro evaluaciones de la ruta del curso (cada una del 25 %, escala de 1,0 a 5,0), y genera la planilla en Excel y el certificado individual de cada estudiante. Todo se guarda solo en este computador: no se envía nada a ningún servidor.
Datos del curso
Plan de evaluación
| N.º | Evaluación | Semana | Fecha | Peso | Aporte máximo |
|---|---|---|---|---|---|
| 1 | Taller 1 — Tablas de contingencia y teoría de conjuntos | 2 | Septiembre 7 / 2026 | 25 % | 1,25 |
| 2 | Taller 2 — Conteo, árbol y Bayes | 4 | Septiembre 21 / 2026 | 25 % | 1,25 |
| 3 | Seguimiento y asistencia | 5 | Septiembre 28 / 2026 | 25 % | 1,25 |
| 4 | Parcial 1 | 6 | Octubre 5 / 2026 | 25 % | 1,25 |
| — | Definitiva | — | — | 100 % | 5,00 |
Registrar estudiante
Planilla de calificaciones
Resumen del grupo
Distribución de las definitivas
Promedio por evaluación
Planilla en Excel y certificados
📊 Llevar las notas a Excel
Tres formas, según lo que te sirva más.
Ctrl+V. Cada columna cae en su sitio.📄 Certificado individual
Genera un certificado explicando el desempeño de un estudiante en cada una de las cuatro evaluaciones y su nota definitiva. Se abre listo para guardarlo como PDF.
Copia de seguridad
Talleres interactivos
Talleres calificados automáticamente. Cada estudiante recibe preguntas distintas generadas al azar sobre los temas que eligió el docente. Se presentan en modo evaluación y la nota llega directo a la planilla del profesor.
Talleres disponibles
Talleres y entregas docente
Crear talleres eligiendo los temas, publicarlos al grupo y ver las entregas llegar en vivo con su nota y su informe de integridad. Aquí también se decide qué nota entra a la planilla: la del taller físico o la de la aplicación.